三相永磁同步電機之有限元法的基本原理

有限元法的基本思想是：首先將偏微分方程的邊值問題等價為條件變分問題；再利用合適的單元類型對求解區(qū)域進行剖分，在單元上構造相應的插值函數，對各個單元進行單元分析，得到各單元內能量的表達式和單元能量對3個節(jié)點磁位的導數；然后對所有單元的分析結果進行總體合成，將能量泛函的極值問題轉化為多元能量函數的極值問題，建立以各節(jié)點磁位為變量的代數方程組，并按第一類邊界條件進行修正；最后求解該方程組，得到各節(jié)點的磁位，進而得到相應的磁場量。

下面以二維恒定磁場為例說明有限元法求解磁場問題的基本原理。

一、條件變分問題

根據變分原理，可將偏微分方程的邊值間題等價為條件變分問題，即能量泛函的極值問題。與式（4一17）對應的條件變分問題為。偏微分方程的邊值問題等價為條件變分問題后，邊界條件發(fā)生了變化，第一類邊界條件仍作為附加條件列出，稱為強加邊界條件；第二類邊界條件體現為一項線積分，自動滿足，稱為自然邊界條件；求解區(qū)域內部媒質分界線上的邊界條件也由能量泛函求極值自動滿足，也是自然邊界條件。自然邊界條件不再在條件變分中列出。

二、剖分插值

剖分就是利用合適的單元類型將求解區(qū)域劃分為有限個單元。在求解二維場時，普遍采用三節(jié)點三角形單元，將三角形的3個頂點作為節(jié)點，雖然精度稍差，但能滿足一般工程問題的需要。有限元計算的精度取決于剖分的合理性和疏密程度，在進行剖分時，需注意以下問題：

( l）三角形單元不可重疊。

( 2）對于邊界或內部交界面上的三角形，只能有一條邊在邊界上。

( 3）當邊界或內部交界面為曲線時，用相應的折線段近似代替曲線段。

( 4）任意一個三角形的頂點必須同時是其相鄰三角形的頂點。

( 5）若邊界上有不同的邊界條件，它們的交界點應是三角形的頂點。

( 6）一個三角形的三條邊的長度不要懸殊太大，盡量為銳角三角形。

( 7）在場梯度較大的地方，剖分得細密些；而在場梯度較小的地方，剖分得稀疏些。

圖4一3為一個三角形單元，三角形3個頂點（節(jié)點）逆時針方向編號。在三角形單元內部，任一點的磁位A二可以通過以下的線性插值函數得到。

三、單元分析

對求解區(qū)域內的每一個單元，分別計算其能量函數對3個節(jié)點磁位的一階導數。當該單元的所有邊都不在第二類邊界上時，其能量泛函只有重積分，沒有線積分。將式（4一24 )代入式（4一18 )，并求能量泛函對3個節(jié)點磁位的導數，得。

四、總體合成

建立一個nxn的系數矩陣［月和一個n行的矩陣｛P }，其中n為求解區(qū)域的總節(jié)點數，將其所有的元素清零，然后將各單元系數矩陣和向量的各元素分別按其下標的地址疊加到系數矩陣，得到。

五、強加邊界條件的處理

考慮到強加邊界條件，需要對式（4一31）進行修改。設第k ‘個節(jié)點為第一類邊界條件上的節(jié)點，其磁位已知為A解。，則式（4一31）中第澎個方程變?yōu)椋瑫r其他方程變?yōu)椤?/p>

六、方程組求解

求解式（4一33 )，即可得到求解區(qū)域內所有節(jié)點的磁位，進而根據式（4一24）得到相應的場量。